MAKALAH TEORI HIMPUNAN DAN DIAGRAM VEEN
KATA PENGANTAR
Puji syukur marilah
kita panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat,
taufik, serta hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan tugas ini dengan
baik.
Tugas ini disusun untuk memenuhi tugas yang diberikan oleh dosen terkait
dengan konsep dasar matematika 1 yang berisi tentang uraian secara singkat
mengenai Teori Himpunan yang meliputi pengertian himpunan, jenis-jenis
himpunan, diagram venn, bilangan kardinal dan operasi pada himpunan.
Kami menyadaribahwa tugas ini masih jauh dari kata sempurna, oleh sebab itu
kamimengharapkan kritik dan saran yang membangun demi tercapainya kesempurnaan
tugas ini.
Semoga apa yang kami susun dalam makalah ini dapat bermanfaat bagi kita
semua. Kami mohon maaf bila banyak kekurangan dalam penulisan makalah ini.
Penyusun
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR i
DAFTAR ISI ii
BAB I ISI
A.
Pengertian Himpunan................................................................................1
B.
Jenis- Jenis
Himpunan...............................................................................2
C.
Diagram Venn………………………………………………….………..3
D.
Bilangan Kardinal………………………………………………….…....5
E.
Operasi dalam Himpunan………………………………………….…....5
BAB II PENUTUP
A.
Kesimpulan………………………………………………………….….6
Daftar Pustaka………………………………………………………………….iii
BAB I
PENDAHULUAN
Latar
Belakang
Teori himpunan dikenalkan di sekolah pada tahun 1960-an
setelah era Sputnik. Pada tahun 1970-an banyak orang merasa bahwa simbol-simbol
yang ada pada teori himpunan ini mengakibatkan kebingungan pada dan anak-anak,
maupun orang dewasa, khususnya bagi mereka yang baru mengenalsimbol-simbol itu.
Modul ini merupakan bahan ajar pertama dari mata kuliah
konsep dasar matematika. Modul ini terbagi ke dalam dua kegiatan belajar.
Kegiatan belajar 1 memuat tentang pengertian himpunan, dan kegiatan belajar 2
memuat tentang operasi dan sifat himpunan. Materi yang dibahas di dalam modul
ini merupakan dasar untuk mempelajari materi-materi lain dalam matematika dan
bidang kajian lain. Dengan Mengusai materi ini kita akan terbantu dalam
mempelajari dan mencerna materi-materi lain, baik yang berhubungan dengan
logika matematika, matematika secara umum, maupun materi yang berhubungan
dengan kehidupan sehari-hari.
Secara
umum, setelah anda menyelesaikan modul ini diharapkan anda mampu memahami teori
himpunan dan operasi-oerasinya serta dapat memanfaatkannya dalam menyelesaikan
masalah-masalah matematika maupun masalah-masalah di uar matematika. Sedangkan
secara khusus setelah anda mempelajari modul ini diharapkan dapat:
Rumusan Masalah
Tujuan
Sebagai acuan utama penulisan modul ini adalah buku
karangan Billstein, Liberskind, dan Lot (1993), A Problem Solving Approach
to Mathematics for School Teachers dan buku karangan Wheeler, Ruric E.
(1992). Modern Mathematics. Sedangkan sebagai rujukan tambahan penulisan
modul ini adalah buku-buku logika matematika yang banyak beredar di pasaran.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah sekelompok atau sekumpulan benda atau objek-objek tertentu
yang tercakup di dalam suatu kesatuan dan dapat di definisikan secara jelas.
Objek –objek pembentuk himpunan disebut anggota himpunan.
Ø Aturan – aturan penulisan himpunan :
1.
Nama suatu himpunan harus dituliskan dengan menggunakan huruf capital
2.
Penulisan anggota-anggota suatu himpunan harus di batasi oleh dua kurung
kurawal. Bentuk huruf kurawal adalah ({ })
3.
Untuk memisahkan anggota satu dengan anggota lainnya digunakan tanda koma (,)
4.
Untuk menuliskan anggota himpunan yang berlanjut harus digunakan tanda titik
sebanyak 3 buah (…)
5.
Banyaknya anggota himpunan A dinotasikan dengan n(A).
Ø Sifat keterikatan unsur-unsur dalam Himpunan
Sifat keterikatan tertentu benda-benda atau unsur-unsur didalam suatu
himpunan disebut juga sebagai sifat himpunan.
Terdapat dua sifat dari suatu himpunan yaitu:
a.Tiap obyek di dalam suatu himpunan dapat dibedakan antara obyek
yang
satu dengan yang lainnya.
Contoh :
Ø Himpunan ikan di dalam kolam,di mana tiap anggotanya dapat di bedakan yaitu
antara ikan koki,ikan louhan dan lain sebagainya.
Ø Himpunan benda-benda di dalam kelas,di mana tiap anggotanya dapat dibedakan
yaitu terdapat meja,bangku,papan tulis dan lain-lain.
b.Unsur-unsur atau benda-benda yang berada di dalam suatu
himpunan dapat dibedakan dengan unsur-unsur atau benda-benda
yang tidak berada di dalam himpunan tersebut.
Contoh:
Ø Himpunan benda-benda dalam kelas dapat dibedakan dengan himpunan
benda-benda yang berada di luar kelas misalnya pagar atau tiang bendera yang
berada di luar kelas.
Ø Himpunan anak kecil Tk yang sedang bermain dapat dibedakan dengan himpunan
anak kecil SD yang juga sedang bermain.
Contoh himpunan :
Tentukan anggota
himpunan bilangan prima yang lebih kecil dari 7 dan cara penulisannya .
Jawab :
Anggota himpunan
tersebut adalah 2,3,dan 5. Himpunan tersebut dapat ditulis dengan:
i.
A = {2, 3, 5 } atau
ii.
A= {x| x bilangan prima yang lebih kecil dari 7 }
B. JENIS- JENIS HIMPUNAN
ü Himpunan Semesta
Adalah himpunan yang
mengandung semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta umumnya
dinyatakan dengan S. Anggota himpunan semesta dapat terhingga maupun tidak
terhingga.
Contoh :
Misal A= { 0, 1,2,3,4}
dan B = {1, 5, 6, 7}. Tentukan himpunan semesta yang mungkin.
Jawab :
Himpunan semesta yang
mungkin dari A dan B adalah :
i.
S= himpunan bilangan cacah
ii.
S= {0, 1,2,3,4,5,6,7}
iii.
S= {0, 1,2,3,…,10 }
ü Himpunan Kosong
Adalah himpunan yang
tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinotasikan dengan ({ })
Contoh :
A adalah himpunan bulan
setahun yang lamanya 32 hari.
Karena tidak ada bulan
dalam setahun yan g lamanya 32 hari maka A= { }
ü Himpunan
Terhingga
Adalah himpunan yang
jumlah anggotanya terhingga.
Contoh :
i.
A= {2,3,5}
ii.
A= {x|x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}
ü Himpunan Tak Terhingga
Adalah himpunan yang
anggotanya tidak terhingga/tidak terbatas.
Contoh :
i.
A= {2,3,5,… }
ii.
A= {x|x bilangan cacah yan g lebih besar dari 10}
C. DIAGRAM VENN
Diagram Venn adalah suatu model yang digunakan untuk memudahkan pembahasan
mengenai himpunan dan operasi- operasi pada himpunan tersebut.
Diagram Venn biasanya digunakan sebagai alat bantu untuk menggambarkan
suatuhimpunan atau hubungan antar himpunan.
Aturan aturan penulisan / penggambaran Diagram Venn :
·
Himpunan Semesta (S) digambarkan dengan menggunakan persegi panjang.
·
Himpunan yang merupakan bagian dari himpunan semesta digambarkan dengan
lingkaran.
·
Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan tanda titik (noktah).
·
Nama anggota dituliskan berdekatan dengan noktahnya.
Contoh :
K = {1,3,5,7}
L = {6,9,12}
S =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Diagram Venn
untuk himpunan tersebut adalah :
Keterangan :
v Anggota himpunan K dan L tidak ada yang sama, berarti tidak ada satu angka
pun yang menjadi anggota bersama antara K dan L. jadi lingkaran K dan L tidak
berpotongan.
v 2, 4, 8, 10, dan 11 bukan merupakan anggota himpunan K dan L sehingga
dituliskan di luar lingkaran.
D. BILANGAN KARDINAL
Bilangan Kardinal suatu himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyak
anggota himpunan tersebut. Bilangan cardinal dari suatu himpunan H dinotasikan
dengan n(H).
Contoh :
Misal A= {a,b,c} dan B = {1,2,3,6,7}.Tentukan n (A ) dan ( B).
Jawab:
n (A) = 3 dan n ( B ) = 5.
Ø Himpunan Bagian
Adalah suatu himpunan yang menjadi anggota
dari himpunan lain.
Misal:
A disebut himpunan bagian dari B jika setiap anggota A merupakan anggota B.
C disebut bukan himpunan bagian dari B jika ada anggota C yang bukan
anggota B.
Contoh:
Misal A = {a,b,c}.Tentukan banyak himpunan bagian dari A dan sebutkan .
Jawab:
n(A) = 3, maka banyak himpunan bagian dari A adalah = 8
Himpunan bagian A tersebut adalah :
{}, {a}, {b} ,{c}, {a,b}, {a,c}, {b ,c}, dan {a, b, c}.
Ø Dua Himpunan yang Ekivalen
A disebut ekivalen dengan B , jika banyak anggota A sama dengan banyak
anggota B.
Contoh :
Misal A ={0, 2,4,6,8} dan B ={1,3,5,7,9}. Periksalah apaka A dan B
ekivalen.
Jawab :
Karena n(A)= 5 dan n(B)=5, maka A ekivalen dengan B
Ø Dua Himpunan yang Sama
A disebut sama dengan B (ditulis A=B) jika semua anggota A adalah
anggota B , dansemua anggota B adalah anggota A.
Contoh:
Periksalah apakah A={a,e,i,o,u} dan B={ a,o,u,e,i} sama.
Jawab:
semua anggota A adalah anggota B dan semua anggota B adalah
anggota A, maka A=B.
Ø Himpunan Kuasa
Himpuna kuasa dari B (ditulis P(B)) adalah himpunan dari semua himpunan
bagian dari B.
Contoh:
Misal B = {1,3,5}.Tentukan P(B).
Jawab:
P(B) = {{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5},{ } }.
E. Operasi pada Himpunan
Operasi pada himpunan meliputi :
a. Komplemen adalah himpunan yang
anggota-anggotanya bukan anggota A tetapi termasuk anggota himpunan smesta.
Contoh :
Misal S = {0,1,2,...,10}
dan A = {0,2,4,6,8,10}. Tentukan komplemen dari A
Jawab :
A ={1,3,5,7,9,}.
b. Irisan
Irisan atau interseksi dari A dan B (ditulis A dan B) adalah himpunan yang
anggota-anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B.
c. Gabungan
Gabungan atau union dari A dan B adalah himpunan yang anggota- anggotanya
merupakan anggota A atau anggota B.
d. Selisih
Silisih atau pengurangan Adan B (ditulis A-B) adalah himpunan yang anggota-
anggotanya merupakan anggota A tapi bukan anggota B .
KESIMPULAN
Dari uraian diatas dapat diambil kesimpulan bahwa himpunan adalah himpunan
adalah sekelompok objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Himpunan dapat
berupa himpunan semesta , himpunan kosong, himpunan terhingga, dan tidak
terhingga. Himpunan merupakan dasar dari sebuah matematika modern.
Pembelajaran mengenai himpunan selalu di identikkan dengan diagram venn
karena diagram venn ini memang diciptakan untuk membantu dalam menjelaskan
mengenai hubungan antar-himpunan dan operasi-operasi pada himpunan tersebut.
DAFTAR PUSTAKA
Murray R. Speigel.1989.Teori
dan Soal- Soal Matematika.Jakarta:Erlangga.Simangunsong,Wilson.1992.Matematika
Dasar.Jakarta:Erlangga.
Untoro, Joko & Tim
Guru Indonesia.2010.Buku Pintar Pembelajaran SMP 6 in 1.Jakarta:PT.Wahyu
Media.
0 komentar:
Post a Comment